Окончил Армянский институт физической культуры (1956). Двукратный чемпион Олимпийских игр (1956, Мельбурн; 1960, Рим) в упражнении на кольцах, в командном первенстве (1956), серебряный призер Олимпийских игр (1960, Рим) в командном первенстве. Чемпион мира (1954, 1958) в упражнениях на кольцах и командном первенстве. Чемпион Европы (1955). Чемпион СССР (1952-1962) в отдельных видах многоборья.
Коронным снарядом у Азаряна были кольца, в течение десяти лет никто не мог превзойти его в этом виде многоборья. Особенно ему удавался азаряновский «крест».
По окончании спортивной карьеры руководил специализированной детской гимнастической школой в Ереване. Его сын Эдуард (р. 1958) также добился в спортивной гимнастики высоких результатов — он обладатель золотой олимпийской медали в командном первенстве на Играх XXII Олимпиады в Москве (1980).
В 2000 году спортивными журналистами Армении Альберт Азарян был признан лучшим армянским спортсменом XX века. В 2004 и 2008 годах ему было доверено право нести знамя Армении на церемонии открытия Олимпийских игр в Афинах и Пекине. В настоящее время Альберт Азарян возглавляет Федерацию гимнастики Армении.