Учился в Швеции, США и Швейцарии. Увлекался легкой атлетикой. Был сильным спринтером. Работал в электрических концернах в США и Швейцарии. Затем вернулся в Швецию. В 1901-1903 занимал пост президента шведской легкоатлетической федерации. В начале 20 в. стал одним из руководителей Национального спортивного движения Швеции.
С 1909 Эдстрем принимал участие в работе организационного комитета Олимпийских игр (Стокгольм, 1912). Тогда же, в 1912, во время Игр была основана Международная любительская легкоатлетическая федерация (ИААФ), инициатором создания которой стал Эдстрем, он же был избран ее первым президентом. В 1921 избран членом МОК и членом его исполкома. В 1931 избран вице-президентом МОК. Свою работу в МОК и ИААФ совмещал с работой на посту президента одной из крупнейших шведских компаний. Во время Второй мировой войны, когда третий президент МОК Байе-Латур, оказавшись на оккупированной территории, вынужденно прекратил общение с членами МОК, Эндстрем осуществлял координаторские функции в МОК. После кончины Байе-Латура в 1942 Эдстрем принял на себя выполнение обязанностей президента МОК. В 1945 созвал в Лондоне первое послевоенное заседание исполкома МОК, а в 1946 был единогласно избран президентом МОК.
Эдстрем был последовательным защитником любительского спорта, он поддержал предложение о создании Международной олимпийской академии (Рим, 1949), выступал за прием спортивных федераций СССР в международные спортивные федерации. Благодаря его позиции в 1951 Олимпийский комитет СССР был признан МОК. Под его руководством МОК провел V, VI зимние Олимпийские игры и Игры XIV Олимпиады. В 1952 Эдстрем подал в отставку, новым президентом был избран Эйвери Брэндедж, а Эдстрем был единогласно избран почетным президентом МОК.