Разработал математический аппарат для теории нелинейных колебаний, заложил основы строгой теории автоколебаний (ввел термин «автоколебания»). Развил идею о грубых системах (совместно с Л. С. Понтрягиным). Получил фундаментальные результаты в теории автоматического регулирования. Исследовал влияние флуктуаций на неконсервативные системы, обладающие несколькими состояниями равновесия. Разработал математический аппарат для решения нелинейных задач в трехмерном и четырехмерном фазовых пространствах. Первым дал картину (без линейной идеализации) динамического поведения некоторых систем с авторегулированием. Автор фундаментальных трудов и основатель научной школы по теории нелинейных колебаний и ее приложениям в радиофизике, автоматическом регулировании, динамике машин. Один из авторов классической книги «Теория колебаний» (1937). Создал научную школу. В 1969 Президиумом АН СССР учреждена премия им. А.А. Андронова.