Он родился в Риге в 1936 году. Марис был вторым ребенком в семье. Его отец пел в хоре до того, как потерял голос, после этого он стал мастером сцены в рижском театре оперы и балета. Сценический дебют Мариса состоялся после того, как директор театра, часто навещающий дом семьи Мариса, предложил ему петь в хоре мальчиков постановки «Кармен». Мариса отдали в хореографическое училище почти сразу после дебюта. В 13 лет Марис уже танцевал не только роли в детских балетах, но и выступал во взрослых партиях. Наряду с работой Лиепа занимался спортивной гимнастикой и плаванием, завоевав титул чемпиона Латвии по плаванию вольным стилем на средние дистанции и радикулит.
Он был выпускником Рижского хореографического училища. После того, как он его окончил, он поехал в Москву, где решил учиться в Московском хореографическом училище. В 1955 году он закончил обучение, но на родину не вернулся. Практически всю жизнь Лиепа работал в Москве, поэтому на исторической родине – не появлялся. Окончив училище, Лиепа устроился работать в труппе Театра имени К. Станислвского. Там он танцевал партию Лионеля в балете «Жанна д`Арк». На Лиепу скоро обращают внимание специалисты из Большого театра. К 1960 году он уже часть этого театра.
Танцору-мужчине довольно сложно быть оригинальным. Ведь чаще всего его партия предопределена тем, что делает балерина. Однако танец Мариса всегда отличался какой-то особой мужественностью. Его и на сцене воспринимали как мужчину, а не как технического исполнителя, который был ассистентом прима-балерины. Кстати, его Красс в знаменитом «Спартаке» считается лучшей за всю его карьеру. В Большом театре Марис танцевал почти все ведущие партии. Он танцевал Ромео, Дезире, Ферхада, Альберта, Вронского, Каренина. Даже в сорок лет он прекрасно танцевал партию принца Лимона в детском балете «Чиполлино».
Начиная с 1963 года, и по 1980 год Марис был преподавателем в Московском хореографическом училище. Часто он ездил и давал мастер-классы в другие страны. Он бывал в Англии, США, Германии. Он выступал как балетмейстер в конце 60-ых годов. Лиепа поставил и выполнил ведущую партию в своем балете «Видение розы». В 1979 году в Днепропетровске он поставил балет «Дон Кихот». Он также занимался постановками танцев в драматических театрах. Также Лиепа снимался в кино. Поначалу он снимался в фильмах-балетах, а потом и в художественных фильмах. Дети Лиепы тоже пошли по стопам отца. Они стали известными танцорами. А сам великий Марис Лиепа скончался в 1989 году.