Будущий великий испанский музыкант появился на свет 29 мая 1860 года в Кампродоне, небольшом городке в каталонской провинции Жирона. Его отец был таможенником, а мать была родом из Фигераса. Исаак — самый младший ребенок в семье. У него было три старшие сестры. Именно одна из его сестер также была талантливым музыкантом и давала ему первые уроки игры на фортепиано. В мае 1863 года, когда Исааку было три года, его семья переехала в Сиджес. Через несколько месяцев они обосновались в Барселоне. К тому времени успехи Альбениса в игре на фортепиано были впечатляющими. В 1864 году сестра отвезла мальчика в недавно построенный «Театр Ромеа» в Барселоне, где тот дал свое первое представление. Далее будущий композитор вместе со своей матерью отправился в Париж, где некоторое время учился у пианиста Антуана Франсуа Мармонтеля.
В конце 1880 года Исаак Альбенис отправился в концертный тур в Новый Свет, достигнув Гаваны в декабре. Оттуда он отправился в Сантьяго-де-Чили, затем посетил Гранаду, чтобы дать сольные концерты в домах некоторых известных людей. Всюду, где выступал этот музыкант, зрители были в восторге, а критики хвалили его. Исаак вступил в новую фазу своей музыкальной карьеры в январе 1882 года, когда сочинил свои собственные сарсуэлы: «Cuanto mas viejo» и «Catalanes de gracia». Его первая пьеса была успешно показана в феврале, а вторая — в марте. После рождения сына в 1885 году Исаак Альбенис переехал в Мадрид со своей семьей. Он начал заниматься обучением музыке и композиции, написав более 50 фортепианных пьес к 1886 году. В Мадриде музыкант дал концерты для королевской семьи, самый значительный из которых состоялся 24 января 1886 года. Он имел огромный успех, и очень скоро пианист начал получать приглашения выступать в разных частях страны.
Альбенис женился на своей ученице Розине Джордане 23 июня 1883 года. Она была из знатной каталонской семьи. У пары родилось четверо детей: три дочери и сын. Две их девочки умерли в младенчестве. Первым выжившим ребенком этой пары стал сын по имени Альфонсо. Он родился в 1885 году и был назван в честь испанского короля, который помог построить Исааку его музыкальную карьеру, предоставив грант. Повзрослев, Альфонсо стал дипломатом. Дочь Лаура, родившаяся в 1890 году, когда выросла, стала живописцем. В 1900 году Исаак начал страдать от болезни почек, известной как болезнь Брайта, которая причиняла ему сильную боль. В 1909 году он переехал в санаторий в Камбо-ле-Бен, где и скончался 18 мая. В то время ему было 48 лет. Его останки были похоронены на кладбище Монжуик в Барселоне. Паломой О'Ши был основан Фонд Альбениса в 1972 году. Его цель — продвижение испанской музыки и поощрение талантливых музыкантов. Фонд расположен в Мадриде и выступает в качестве исследовательского центра испанской музыки и творчества Исаака.