Бабский родился в семье врача. В 1924 закончил медицинский факультет Московского университета и был оставлен в Москве для научной работы.
Еще будучи студентом предпоследнего курса начал преподавательскую деятельность в области физиологии как ассистент кафедры биологии и физиологии Коммунистического университета им. Я. М. Свердлова. После окончания университета Бабский зачислен на должность ассистента кафедры физиологии педагогического института им. К. Либкнехта. Одновременно с педагогической работой он начинает активную научно-экспериментальную деятельность в руководимом проф. И. П. Разенковым отделе физиологии Тимирязевского научно-исследовательского института (1924-1929), а затем в физиологической лаборатории им. В. А. Обуха (1928-1930). Экспериментальные исследования этого периода были посвящены проблемам пищеварения. Уже первые публикации, посвященные анализу механизмов рвотного акта, роли доминанты Ухтомского в развитии этого процесса, а также влияния вегетативной нервной системы и гуморальных факторов на моторную деятельность кишечника, получили международное признание.
После окончания аспирантуры (1926-29) в Тимирязевском научно-исследовательском институте, Бабский становится доцентом кафедры физиологии педагогического факультета Московского университета. После преобразования этого факультета (1930) в Государственный педагогический институт им. В. И. Ленина Бабский возглавил кафедру физиологии и руководил ею почти 20 лет, вплоть до 1949. В 1932 Е. Б. Бабский был утвержден в звании профессора. В 1930-40-х гг. A. Б. Бабский, продолжая эксперименты в области физиологии пищеварения, совместно с клиницистами проводит исследования о влиянии симпатической нервной системы в регуляции слюноотделения, дыхания, вестибулярного аппарата, кожно-гальванического рефлекса человека. Однако основное направление исследований этого периода связано с изучением химических факторов возбуждения в нервной и мышечных системах. Являясь одним из первых в стране активных сторонников открытия О. Леви (1921) о химическом звене в передаче нервных сигналов, Е. Б. Бабский с сотрудниками кафедры проводит оригинальные исследования в этом направлении. Им впервые был установлен факт образования ацетилхолина и симпатина (норадреналина) в нервных стволах при их раздражении. В 1939 без защиты диссертации Е. Б. Бабскому была присуждена степень доктора биологических наук. В 1932 он с группой коллег приступает к написанию учебника по физиологии, который последний раз был выпущен в 1972.
В первые дни Великой Отечественной войны Е. Б. Бабский вступил в ряды народного ополчения. Однако, вскоре он был отозван и назначен помощником уполномоченного Государственного Комитета Обороны, где проработал до конца 1943. После окончания войны в 1945 известный биохимик академик Я. О. Парнас пригласил Бабского возглавить физиологическую лабораторию в только что созданном Институте биологической и медицинской химии АМН СССР. Среди работ Е. Б. Бабского и его сотрудников особое внимание в этот период было уделено изучению роли АТФ и продуктов ее метаболизма в процессах возбуждения и сокращения сердечной и скелетной мышц. Результаты экспериментов позволили Е. Б. Бабскому выдвинуть оригинальную гипотезу о роли АТФ в механизме тетанического сокращения. Было изучено также влияние АТФ на деятельность центральной нервной системы. В 1948 Е. Б. Бабский был избран академиком АН УССР. Переехав в Киев, он возглавил отдел Общей физиологии Института физиологии им. А. А. Богомольца. В конце 1950 Е. Б. Бабский возвращается в Москву. Этот период среди физиологов известен как период "после печально известной Павловской сессии". Все научные направления, кроме условно-рефлекторной деятельности по Павлову, были закрыты. Е. Б. Бабский включается в новое для него направление клинической физиологии человека. Он руководит физиологической лабораторией Центрального научно-исследовательского института протезирования и протезостроения. Затем организует лабораторию клинической физиологии при кардиохирургической клинике, руководимой А. Н. Бакулевым, а в 1959 организует лабораторию общей и клинической физиологии в Институте нормальной и патологической физиологии АМН СССР. В этот период Е. Б. Бабский возглавил работу по созданию новых методик и приборов для изучения опорно-двигательного аппарата, состояния сердечно-сосудистой системы и др. Под руководством Е. Б. Бабского были разработаны кардиостимуляторы для клинических стационаров и скорой помощи. Впервые в СССР была успешно применена электрическая стимуляция сердца при различных сердечных патологиях и электроимпульсная терапия нарушений сердечного ритма, а также разработан и применен кардиомонитор - прибор непрерывного наблюдения за состоянием деятельности сердца больного. Благодаря огромной энергии Е. Б. Бабского научно-техническое перевооружение произошло не только в кардиологии, но и вдругих областях физиологии и медицины. В создании и производстве новых приборов существенную роль сыграло и то обстоятельство, что Е. Б. Бабский был председателем Комитета по новой технике Министерства здравоохранения СССР (1962-1967).
