Родился в семье шахтера. В 1947 семья Адамо перебралась в небольшой бельгийский городок Монс, затем кочевала по разным городам Бельгии. Еще в школе увлекся пением (это было вполне естественно, поскольку все Адамо прекрасно пели), а позднее стал писать песни. Когда Сальваторе исполнилось 14 лет, дедушка подарил ему гитару (сейчас она висит на самом почетном мечте в брюссельском доме певца). Родным для него стал французский язык, поэтому в равной степени Адамо можно считать французским певцом, по культуре он, конечно, принадлежит Франции, но итальянские мотивы никогда не покидали творчество певца. Lacrimae Napolitane (Неополитанская слеза) — одна из любимых песен Адамо, навсегда вошедшая в его репертуар. Учебу в коллеже Св. Луки в Турне завершить не удалось.
Начал с исполнения «Неаполитанских песен», дебютировал альбомом Vous Permettez, Monsieur» (Мсье, разрешите потанцевать с вашей дочерью), одноименная песня из этого альбома стала шлягером. Пик популярности певца пришелся на 1960-е гг., альбомы с его песнями были изданы более чем 80-миллионным тиражом. Адамо испытал сильное влияние Жака Превера, Жоржа Брассенса, а также итальянской канцонетты. В 1963 певец записал песню, сразу ставшую хитом Sans Toi mamie (Без мамы), а песни Quand Les Roses (Когда розы) и Dolce Paola (Нежная Паола), La Filles du bord de Mer (Девушки с пляжа) занимали самые верхние строчки в чартах в 1964. Но, пожалуй, самой знаменитой песней Адамо является Tombe la Neige (Падает снег), популярная не только на Западе, но и на Востоке (в Японии она считается чуть ли не народной).
В 1972 впервые приехал в Москву на гастроли, которые имели оглушительный успех. Выступая в Лужниках, Адамо собрал аудиторию боле 25 тыс. зрителей. С таким же успехом он пел в Ленинграде (ныне Петербург) и Риге.
Трижды выступал в Нью-Йорке в знаменитом Карнеги-холл (1970, 1974, 1976). В 1977 совершил триумфальный тур по Латинской Америке (Чили, Аргентина), собирая многотысячные стадионы.
Певец всегда занимал активную социальную позицию, им было написано огромное число песен, откликавшихся на важнейшие политические события в мире. В 1990-е гг. он продолжал выступать, конечно, не так часто и не для таких аудиторий, как в свой звездный час, но певец не переставал работать. Одна из последних его записей Regards (Взгляд на) была выпущена в 1998 и сразу же завоевала всеобщую любовь.
Адамо занимал в разное время несколько постов в международных организациях (в частности, был советником ЮНЕСКО по вопросам культуры).